Fundamentos matemáticos I

Código: 10998 Curso: 1º Cuatrimestre: A ECTS: 6 Carácter: FBa
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Información Institucional

ERT
ETSIAMN
Departamento
MATEMÁTICA APLICADA
Titulación
Grado en Ingeniería Forestal y del Medio Natural

Contenido de la Guía

Contenido

1. Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
1.1 Tipos de matrices, propiedades y operaciones.
1.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.


1.3 Aplicaciones: Redes de flujo, circuitos eléctricos, ajuste de reacciones químicas y cálculo integral.
2. Determinantes
2.1 Definición y propiedades de los determinantes.
2.2 Cálculo del determinante mediante la fórmula de expansión de Laplace.
2.3 Aplicación: polinomio de interpolación.
3. Espacio Vectorial.
3.1 Definición y propiedades de los espacios vectoriales.
3.2 Subespacios vectoriales.
3.3 Dependencia e independencia lineal.
3.4 Bases y dimensión. Cambio de base.
4. Espacio Euclídeo.
4.1 Definición de producto escalar. Propiedades.
4.2 Norma de un vector. Ángulo y distancia entre vectores.
4.3 Producto vectorial. Propiedades.
4.4 Ortogonalidad. Subespacio ortogonal. Algoritmo de Gram-Schmidt.
4.5 Proyecciones ortogonales.
4.6 Matrices ortogonales. Propiedades.
4.7 Aplicaciones: Mínimos Cuadrados, Regresión Lineal y estudio de Componentes Principales.


5. Diagonalización de matrices.
5.1 Valores y vectores propios de una matriz. Propiedades. Subespacio propio.
5.2 Matrices semejantes. Diagonalización de matrices.
5.3 Diagonalización de matrices simétricas
5.4 Aplicaciones: Cadenas de Markov y dinámica de poblaciones.

Contexto

Para un estudiante del grado de Ingeniería Forestal y del Medio Natural las matemáticas son un instrumento para resolver problemas, por lo que el interés del alumno debe ser captado a través de las conexiones que dicha asignatura tiene con otras ciencias. Este planteamiento no supone, en principio, una gran dificultad dado que la mayoría de los conceptos fundamentales básicos tienen históricamente su origen en problemas surgidos de la Física. La asignatura de Fundamentos Matemáticos I es una asignatura básica del primer cuatrimestre del primer curso con un contenido algebraico básico. En el conjunto de las aplicaciones de los distintos temas de la asignatura podemos destacar las siguientes: - Los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices tienen aplicación directa en problemas de Física, al estudiar por ejemplo sistemas elásticos, en Química para equilibrar reacciones, en Fundamentos Matemáticos II para la resolución de integrales racionales, en Economía en problemas de maximización, en Estadística en problemas de regresión y linealización de regresión y, en general, en todas las asignaturas en las que al modelizar un problema surja un sistema de ecuaciones lineales. - El espacio vectorial y el espacio euclídeo, con el estudio de los vectores, ortogonalidad, sistemas de referencia ortogonales, etc.. son fundamentales en la asignatura de Física. Estos temas nos permiten además resolver problemas de mínimos cuadrados y de proyecciones, con aplicación directa a Estadística y Paisajismo para el cálculo de componentes principales. - La diagonalización de matrices reales se aplica en Construcción para el estudio de las direcciones de fuerza, en Genética en el estudio de enfermedades autosómicas, herencia ligada al sexo, etc. En el caso de matrices simétricas tenemos aplicación directa en Física en el estudio y determinación de campos de fuerza, en Economía Agraria en la construcción de funciones de producción que miden la respuesta de un cultivo en función de diferentes variables, en el estudio de la evolución de un sistema a largo plazo y en la evolución de poblaciones.

Descripción

El objetivo fundamental de la asignatura de Fundamentos Matemáticos I es aportar a los alumnos los conocimientos básicos necesarios para la modelización de procesos que siguen una dinámica lineal, así como fomentar la abstracción, la elección de estrategias adecuadas y la interpretación de los resultados obtenidos. Para ello es necesario que el alumno conozca y sepa resolver dos problemas básicos e importantes dentro del Álgebra Lineal: la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y el cálculo de valores y vectores propios de una matriz. La asignatura está estructurada en cinco Unidades Didácticas. - En las dos primeras se estudian las matrices y los determinantes, herramientas básicas para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones como: redes de flujo, interpolación polinómica, ajuste de reacciones químicas, gestión empresarial, etc. - El estudio en profundidad de las propiedades de las soluciones de los sistemas lineales requiere el conocimiento de los espacios vectoriales, siendo además básica esta estructura para el estudio del espacio euclídeo, las proyecciones ortogonales y sus aplicaciones a mínimos cuadrados, regresión lineal y componentes principales. Estas dos estructuras algebraicas, sus propiedades fundamentales y sus aplicaciones se estudian en las Unidades Didácticas 3ª y 4ª. - La última Unidad Didáctica está dedicada al estudio y aplicaciones de la diagonalización de matrices reales y en particular de las matrices simétricas. Los resultados obtenidos se aplican al estudio de las Cadenas de Markov y modelos de crecimiento de poblaciones.

Evaluación

La evaluación consta de tres controles escritos sobre los contenidos del temario: Control 1 (C1): Escalonamiento de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. El porcentaje sobre la nota total es de un 20%. Control 2 (C2): Espacio vectorial y euclídeo. El porcentaje sobre la nota total es de un 40%. Control 3 (C3): Valores y vectores propios. Aplicaciones a cadenas de Markov. El porcentaje sobre la nota total es de un 30%. Paralelamente a la realización de estos controles habrá, a lo largo del cuatrimestre, varias entregas de ejercicios (Ei) durante las clases de seminario. Estas entregas versarán sobre los contenidos desarrollados a lo largo del curso y serán tanto teóricas como prácticas. La nota E de las entregas se obtendrá como la media de las notas Ei obtenidas en cada una de ellas, no habiendo recuperación de las mismas. El porcentaje de la nota E sobre la nota total es de un 10%. El/la estudiante aprobará el curso mediante el sistema de evaluación descrito si la nota de los controles C2 y C3 es mayor o igual que 4 y la nota final ponderada NF= C1 x 0.20 + C2 x 0.40 + C3 x 0.30 + E x 0. 10 es igual o superior a 5. Los estudiantes que no hayan superado la asignatura, bien porque han obtenido una nota final NF inferior a 5 puntos o porque la nota de alguno de los controles C2 ó C3 es inferior a 4 puntos, pueden presentarse al examen de recuperación. Esta prueba consistirá en un examen escrito por cada uno de los controles con nota inferior a 4 y para aprobar se aplicará la misma fórmula anterior con las notas obtenidas en el examen de recuperación, teniendo en cuenta que se mantiene la nota C1 del primer control y la nota E de las entregas. Si al aplicar dicha fórmula la calificación final sale mayor o igual que 5, pero no se ha alcanzado la nota mínima de 4 puntos en alguno de los controles para poder compensar, la nota que aparecerá en las actas será un 4,5 Si algún estudiante quiere subir nota puede presentarse al examen de recuperación, en cuyo caso su nota final será la obtenida al aplicar la fórmula anterior con las notas obtenidas en el examen de recuperación. Para obtener matrícula de honor es necesario obtener una nota final mayor o igual que 9, quedando a la consideración de los profesores de la asignatura si se otorgan o no y dependiendo del número total de matrículas que puedan darse. Para el alumnado que tengan dispensa docente aprobada por el centro y que no pueda asistir a las clases o a los actos de evaluación programados, el sistema alternativo de evaluación consistirá en un único examen sobre los contenidos teóricos y prácticos desarrollados en la asignatura y la nota obtenida en dicho examen será la nota final de la asignatura. La fecha, hora y lugar para realizar el examen se acordará con los profesores de la asignatura. La ausencia no justificada a cualquier actividad con un porcentaje mínimo de asistencia obligatoria supondrá la calificación de No presentado.

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