Practica con problemas de diferentes contextos: call centers, hospitales, producción, IT.
Un cajero de banco atiende clientes que llegan según un proceso de Poisson con tasa λ = 15 clientes/hora. El tiempo de servicio es exponencial con media de 3 minutos.
Preguntas:
Datos:
a) Factor de utilización:
ρ = λ/μ = 15/20 = 0.75 (75%)
b) Clientes en el sistema:
L = ρ/(1-ρ) = 0.75/(1-0.75) = 0.75/0.25 = 3 clientes
c) Tiempo en cola:
Wq = ρ/(μ-λ) = 0.75/(20-15) = 0.75/5 = 0.15 horas = 9 minutos
d) Probabilidad de no esperar:
P₀ = 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25 (25%)
Verifica con la calculadora M/M/1 usando λ=15, μ=20.
Un call center recibe 200 llamadas por hora. Cada agente puede atender 25 llamadas por hora. Actualmente tienen 9 agentes.
Preguntas:
Datos:
a) Estabilidad:
ρ = λ/(c·μ) = 200/(9×25) = 200/225 = 0.889
Como ρ < 1, sí es estable (pero con 89% de utilización es bastante cargado).
b) Probabilidad de esperar (Erlang C):
Usando la calculadora M/M/c con λ=200, μ=25, c=9:
P(esperar) ≈ 65%
c) Agentes para P(esperar) < 20%:
Probando diferentes valores:
Se necesitan 12 agentes.
Verifica con la calculadora M/M/c.
Una línea de producción tiene un throughput de 50 unidades por hora. El WIP (inventario en proceso) promedio es 200 unidades.
Preguntas:
Usando la Ley de Little: L = λ·W
a) Lead time:
W = L/λ = 200/50 = 4 horas
b) WIP para lead time de 2 horas:
L = λ·W = 50×2 = 100 unidades
Hay que reducir el WIP a la mitad para reducir el lead time a la mitad.
c) Nuevo lead time con WIP=300:
W = L/λ = 300/50 = 6 horas
El WIP aumentó 50%, el lead time también.
Una máquina procesa piezas con λ = 0.9 piezas/minuto y μ = 1 pieza/minuto. Compara los tiempos de espera para:
Datos comunes:
Fórmula de Kingman: Wq = [ρ/(1-ρ)] × [(ca² + cs²)/2] × E[S]
a) M/M/1 (ca²=1, cs²=1):
Wq = 9 × [(1+1)/2] × 1 = 9 × 1 × 1 = 9 minutos
b) M/D/1 (ca²=1, cs²=0):
Wq = 9 × [(1+0)/2] × 1 = 9 × 0.5 × 1 = 4.5 minutos
c) D/D/1 (ca²=0, cs²=0):
Wq = 9 × [(0+0)/2] × 1 = 0 minutos
Verifica con la calculadora Kingman.
Un servicio de urgencias recibe 6 pacientes por hora. El tiempo medio de atención es 40 minutos. Tienen 5 médicos.
Preguntas:
Datos:
a) Utilización:
ρ = λ/(c·μ) = 6/(5×1.5) = 6/7.5 = 0.80 (80%)
b) Tiempo de espera:
Usando la calculadora M/M/c:
Wq ≈ 0.35 horas = 21 minutos
c) P(todos ocupados) = P(esperar):
C(c,a) ≈ 0.55 (55%)
Es decir, el 55% de los pacientes tiene que esperar.
Un servidor web recibe 800 requests por segundo. Cada request tarda en promedio 1 ms en procesarse.
Preguntas:
Datos:
a) Utilización:
ρ = 800/1000 = 0.80 (80%)
b) Requests en el sistema:
L = ρ/(1-ρ) = 0.8/0.2 = 4 requests
c) Tiempo de respuesta:
W = 1/(μ-λ) = 1/(1000-800) = 1/200 = 0.005 s = 5 ms
(5x el tiempo de servicio puro debido a la cola)
d) Con λ = 950 req/s:
ρ = 0.95
W = 1/(1000-950) = 1/50 = 0.02 s = 20 ms
El tiempo de respuesta se cuadruplica al pasar de ρ=0.8 a ρ=0.95.
Un servicio de atención espera recibir 120 clientes por hora en hora punta. Cada atención dura 5 minutos en promedio. El objetivo es que menos del 10% de clientes esperen más de 1 minuto.
Pregunta: ¿Cuántos agentes se necesitan?
Datos:
SLA: P(Wq > 1 min) < 10%, es decir, P(Wq ≤ 1 min) > 90%
Probando diferentes valores de c:
| c | ρ | P(esperar) | P(Wq ≤ 1 min) |
|---|---|---|---|
| 11 | 91% | 78% | ~55% |
| 12 | 83% | 59% | ~72% |
| 13 | 77% | 43% | ~84% |
| 14 | 71% | 30% | ~91% |
| 15 | 67% | 21% | ~95% |
Respuesta: Se necesitan 14 agentes para cumplir el SLA.
Nota: El cálculo exacto del nivel de servicio P(Wq ≤ t) requiere la función de distribución del tiempo de espera, disponible en la calculadora M/M/c.
Practica con las calculadoras usando estos valores: