Definiciones de los términos y símbolos más usados en teoría de colas.
Parámetros de entrada
λ (lambda) - Tasa de llegadas
Número promedio de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo. Si λ = 10/hora, en promedio llegan 10 clientes cada hora. El tiempo medio entre llegadas es 1/λ.
μ (mu) - Tasa de servicio
Número promedio de clientes que un servidor puede atender por unidad de tiempo (si siempre tiene trabajo). El tiempo medio de servicio es E[S] = 1/μ.
c - Número de servidores
Cantidad de servidores idénticos trabajando en paralelo. En M/M/1, c=1. En M/M/c, c puede ser cualquier entero positivo.
K - Capacidad del sistema
Número máximo de clientes que pueden estar en el sistema (cola + servicio). Si K es finito, los clientes que llegan cuando el sistema está lleno son rechazados (bloqueados).
Métricas de rendimiento
ρ (rho) - Factor de utilización
ρ = λ/(c·μ). Fracción del tiempo que los servidores están ocupados. Debe ser < 1 para estabilidad. Un ρ = 0.8 significa que los servidores están ocupados el 80% del tiempo.
L - Número promedio en el sistema
Número promedio de clientes en todo el sistema (los que están en cola + los que están siendo atendidos).
Lq - Número promedio en cola
Número promedio de clientes esperando en la cola (sin contar los que están siendo atendidos).
W - Tiempo promedio en el sistema
Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema, desde que llega hasta que termina su servicio. W = Wq + 1/μ.
Wq - Tiempo promedio en cola
Tiempo promedio que un cliente espera en la cola antes de comenzar a ser atendido.
P₀ - Probabilidad de sistema vacío
Probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema. En M/M/1, P₀ = 1 - ρ.
Pn - Probabilidad de n clientes
Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema en estado estacionario.
Pw - Probabilidad de esperar
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar en cola. En M/M/c, esto es la fórmula de Erlang C.
Medidas de variabilidad
cv - Coeficiente de variación
cv = σ/μ, donde σ es la desviación estándar y μ es la media. Mide la variabilidad relativa. cv = 1 para exponencial, cv = 0 para determinista.
cv² o ca² - Coeficiente de variación al cuadrado (llegadas)
ca² = Var(A)/E[A]², donde A es el tiempo entre llegadas. Usado en la fórmula de Kingman para capturar la variabilidad de las llegadas.
cs² - Coeficiente de variación al cuadrado (servicio)
cs² = Var(S)/E[S]², donde S es el tiempo de servicio. Usado en la fórmula de Kingman.
Notación de Kendall
A/S/c/K/N/D
Notación estándar: A = distribución llegadas, S = distribución servicio, c = servidores, K = capacidad, N = población, D = disciplina. Los últimos tres suelen omitirse (∞/∞/FIFO por defecto).
M (Markoviana)
Distribución exponencial. Tiene la propiedad de "sin memoria": el tiempo restante no depende de cuánto ha pasado.
D (Determinista)
Tiempos constantes (sin variabilidad). cv² = 0.
G (General)
Cualquier distribución. Se usan aproximaciones como Kingman.
Ek (Erlang-k)
Suma de k exponenciales independientes. cv² = 1/k. Erlang-2 tiene cv² = 0.5.
Disciplinas de cola
FIFO / FCFS
First In, First Out / First Come, First Served. El primero en llegar es el primero en ser atendido. La disciplina más común.
LIFO / LCFS
Last In, First Out. El último en llegar es el primero en ser atendido (como una pila).
SIRO
Service In Random Order. Se elige aleatoriamente quién es atendido.
PR (Priority)
Los clientes tienen prioridades. Puede ser preemptiva (interrumpe) o no preemptiva.
Conceptos clave
Estado estacionario
Régimen donde las probabilidades de estado ya no cambian con el tiempo. Las fórmulas de colas asumen estado estacionario.
Estabilidad
Un sistema es estable si la cola no crece indefinidamente. Requiere ρ < 1 (capacidad > demanda).
Ley de Little
L = λ·W. Relación fundamental que conecta número de clientes (L) con tiempos (W) y tasa de llegadas (λ). También Lq = λ·Wq.
Erlang
Unidad de intensidad de tráfico. a = λ/μ Erlangs representa la carga ofrecida al sistema.
Erlang C
Fórmula para la probabilidad de espera en M/M/c. Nombrada así por Agner Krarup Erlang, pionero de la teoría de colas.
Nivel de servicio (SL)
Porcentaje de clientes atendidos dentro de un tiempo objetivo. Ej: "80% de llamadas contestadas en menos de 20 segundos".
Throughput
Tasa de salida del sistema. En estado estacionario y sin bloqueo, igual a λ.
WIP (Work In Progress)
Inventario en proceso. En teoría de colas, equivale a L.
Lead time
Tiempo desde que entra un pedido/cliente hasta que sale. Equivale a W.