Modelo M/M/c (Erlang C)
Múltiples servidores en paralelo. El modelo estándar para call centers y servicios con equipos.
c servidores
Llegadas M
Servicio M
Erlang C
Supuestos del modelo
- Llegadas: Proceso de Poisson con tasa λ
- Servicio: Tiempos exponenciales con tasa μ (por servidor)
- Servidores: c servidores idénticos en paralelo
- Capacidad: Infinita (los clientes esperan si todos están ocupados)
- Disciplina: FIFO
Condición de estabilidad: ρ = λ/(c·μ) < 1
Fórmulas clave
Intensidad de tráfico
$$a = \frac{\lambda}{\mu} \quad \text{(Erlangs)}$$
Factor de utilización por servidor
$$\rho = \frac{\lambda}{c \cdot \mu} = \frac{a}{c}$$
Probabilidad de sistema vacío
$$P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{a^n}{n!} + \frac{a^c}{c!} \cdot \frac{1}{1-\rho} \right]^{-1}$$
Probabilidad de espera (Erlang C)
$$C(c,a) = P_w = \frac{a^c}{c!} \cdot \frac{1}{1-\rho} \cdot P_0$$
Métricas de cola
$$L_q = C(c,a) \cdot \frac{\rho}{1-\rho}$$
$$W_q = \frac{L_q}{\lambda}$$
$$W = W_q + \frac{1}{\mu}$$
$$L = \lambda \cdot W$$
¿Cuántos servidores necesito?
Comparativa para diferentes valores de c
Nivel de servicio
Probabilidad de ser atendido en menos de t unidades de tiempo
Ejemplo: Call Center
Un call center recibe 120 llamadas por hora (λ=120/h). Cada agente puede atender 15 llamadas por hora (μ=15/h). ¿Cuántos agentes necesito?
Intensidad de tráfico: a = 120/15 = 8 Erlangs
Necesito al menos 9 agentes para estabilidad (c > a).
| Agentes (c) |
ρ |
P(esperar) |
Wq (min) |
% atendidos en <2min |
| 9 |
88.9% |
67.9% |
3.6 |
72% |
| 10 |
80.0% |
44.7% |
1.5 |
86% |
| 11 |
72.7% |
28.4% |
0.7 |
93% |
| 12 |
66.7% |
17.6% |
0.4 |
96% |
Recomendación: Con 11 agentes (ρ=72.7%), el 93% de los clientes son atendidos en menos de 2 minutos. Es un buen balance entre servicio y costo.
Erlang C vs Erlang B
| Característica |
Erlang C (M/M/c) |
Erlang B (M/M/c/c) |
| Cola |
Sí, infinita |
No, sin cola |
| Si todos ocupados |
Cliente espera |
Cliente bloqueado (perdido) |
| Aplicación típica |
Call centers, servicios |
Líneas telefónicas, circuitos |
| Métrica clave |
Prob. de esperar |
Prob. de bloqueo |
Notas de uso
Cuándo usar M/M/c:
- Call centers y centros de atención
- Pools de servidores (web, base de datos)
- Equipos de mantenimiento
- Cajas de supermercado
Cuidado: El modelo asume que todos los servidores son idénticos y que la tasa de llegadas es constante. En la práctica, puede haber variaciones por hora del día.