Conceptos Básicos

Un sistema de colas tiene tres componentes principales: llegadas, servicio y cola.

Fundamentos Notación Kendall

Componentes de un sistema de colas

1. Proceso de llegadas

Los clientes llegan al sistema siguiendo algún patrón. El más común es el proceso de Poisson, donde:

$$\text{Tiempo entre llegadas} \sim \text{Exponencial}(\lambda)$$ $$E[\text{tiempo entre llegadas}] = \frac{1}{\lambda}$$

2. Proceso de servicio

Cada servidor atiende a los clientes con una cierta velocidad:

$$E[\text{tiempo de servicio}] = \frac{1}{\mu}$$

3. Número de servidores (c)

El sistema puede tener uno o más servidores trabajando en paralelo:

Notación de Kendall

Los modelos de colas se describen con la notación A/S/c/K/N/D:

Posición Significado Valores comunes
A Distribución de llegadas M (exponencial), D (determinista), G (general)
S Distribución de servicio M (exponencial), D (determinista), G (general)
c Número de servidores 1, 2, 3, ... (entero positivo)
K Capacidad del sistema ∞ (infinito, por defecto)
N Tamaño de población ∞ (infinito, por defecto)
D Disciplina de cola FIFO (por defecto), LIFO, SIRO
Ejemplo: M/M/1 significa llegadas exponenciales (M), servicio exponencial (M), un servidor (1), capacidad infinita, población infinita, y FIFO.

Disciplinas de cola

Disciplina Nombre Descripción
FIFO First In, First Out El primero en llegar es el primero en ser atendido. La más común.
LIFO Last In, First Out El último en llegar es el primero en ser atendido (como una pila).
SIRO Service In Random Order Se elige aleatoriamente quién es atendido.
PR Priority Los clientes tienen prioridades; se atiende primero al de mayor prioridad.

Métricas principales

Los modelos de colas nos permiten calcular estas métricas en estado estacionario:

Símbolo Nombre Qué mide
ρ Factor de utilización Fracción del tiempo que los servidores están ocupados
L Número en sistema Promedio de clientes en todo el sistema (cola + servicio)
Lq Número en cola Promedio de clientes esperando en la cola
W Tiempo en sistema Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema
Wq Tiempo en cola Tiempo promedio que un cliente espera antes de ser atendido
P₀ Probabilidad de vacío Probabilidad de que no haya nadie en el sistema
Pn Distribución de estado Probabilidad de que haya exactamente n clientes

Relaciones importantes

$$\rho = \frac{\lambda}{c \cdot \mu}$$

Factor de utilización: debe ser < 1 para estabilidad

$$L = L_q + \frac{\lambda}{\mu}$$

Clientes en sistema = en cola + en servicio

$$W = W_q + \frac{1}{\mu}$$

Tiempo en sistema = tiempo en cola + tiempo de servicio

Importante: Todos los modelos de colas asumen estado estacionario. Esto significa que el sistema ha estado funcionando suficiente tiempo para que las métricas se estabilicen. En la práctica, los sistemas reales tienen períodos transitorios.