Ley de Little

La relación más fundamental de la teoría de colas. Conecta número de clientes con tiempos.

L = λ·W Universal 1961

Enunciado

Para cualquier sistema en estado estacionario:

$$L = \lambda \cdot W$$

Donde:

La misma relación aplica para la cola:

$$L_q = \lambda \cdot W_q$$

¿Por qué es tan importante?

Es universal: La Ley de Little no depende de:
  • La distribución de llegadas (Poisson, general, cualquiera)
  • La distribución del servicio
  • El número de servidores
  • La disciplina de la cola (FIFO, LIFO, prioridades)

Solo requiere que el sistema esté en estado estacionario (la cola no crece indefinidamente).

Intuición

Imagina una tienda donde:

¿Cuántos clientes hay en promedio en la tienda?

$$L = 60 \times \frac{1}{6} = 10 \text{ clientes}$$

Tiene sentido: si entran 60/hora y cada uno está 10 minutos, en cualquier momento hay unos 10 clientes.

Aplicaciones prácticas

1. Calcular tiempos a partir de inventario

Si conoces L (fácil de medir: cuenta los clientes) y λ (tasa de llegadas):

$$W = \frac{L}{\lambda}$$

2. Calcular inventario a partir de tiempos

Si conoces W (tiempo promedio que pasa un cliente) y λ:

$$L = \lambda \cdot W$$

3. Verificar consistencia

Si tienes mediciones de L, λ y W, deben cumplir L = λ·W. Si no, algo está mal.

Ejemplo: Proceso de producción

Una fábrica procesa 100 unidades por día. El inventario promedio en proceso (WIP) es 500 unidades. ¿Cuánto tiempo pasa una unidad en el sistema?

Variable Valor Unidad
λ (throughput) 100 unidades/día
L (WIP) 500 unidades
W (lead time) 5 días
$$W = \frac{L}{\lambda} = \frac{500}{100} = 5 \text{ días}$$
Lean manufacturing: Para reducir el lead time (W), debes reducir el WIP (L). Si quieres W = 3 días con el mismo throughput, necesitas L = 300 unidades.

Ejemplo: Sistema informático

Un servidor web recibe 1000 requests por segundo. Cada request tarda en promedio 50 ms. ¿Cuántos requests están "en vuelo"?

$$L = \lambda \cdot W = 1000 \times 0.05 = 50 \text{ requests}$$

Esto es útil para dimensionar pools de conexiones, threads, buffers, etc.

Errores comunes

Error 1: Aplicar Little a sistemas no estacionarios (cola creciendo).
Error 2: Confundir λ (tasa de llegadas) con throughput en sistemas con bloqueo o abandono.
Error 3: Olvidar que W incluye el tiempo de servicio, no solo la espera.

Recuerda:

Variantes de Little

Relación Descripción
L = λ·W Sistema completo
Lq = λ·Wq Solo la cola
Ls = λ·(1/μ) Solo el servicio (Ls = ρ para c=1)

Y como L = Lq + Ls, también:

$$W = W_q + \frac{1}{\mu}$$