Gestión de la Incertidumbre | Logística: Inventarios y Almacenes

¿Por Qué Necesitamos Stock de Seguridad?

El problema de la incertidumbre

Mundo Ideal (sin incertidumbre)

Demanda = Previsión (siempre)
Lead time = Constante
Stock de seguridad = 0
Pedimos justo lo necesario

El stock puede bajar a cero: la reposición llega en ese momento exacto

Mundo Real (con incertidumbre)

Demanda ≠ Previsión (varía)
Lead time puede variar
Stock de seguridad = SS > 0
Necesitamos colchón de protección

Inventario fluctúa, SS evita rupturas

Concepto clave: El stock de seguridad nos protege durante el lead time. Si el lead time fuera 0, no lo necesitaríamos porque reaccionaríamos instantáneamente.

El Trade-off Fundamental: No Servir vs. Almacenar

El stock de seguridad tiene un coste de oportunidad en ambas direcciones. Mantener demasiado poco genera rupturas —ventas perdidas, clientes insatisfechos, urgencias caras—. Mantener demasiado inmoviliza capital y ocupa almacén. Son fuerzas opuestas: el reto es encontrar el equilibrio.

Coste de No Servir

Decrece con SS

Cada unidad adicional de SS reduce la probabilidad de rotura y, con ella, los costes asociados:

Venta perdida: margen no ingresado
Cliente perdido: impacto reputacional
Urgencias: transporte exprés, producción extraordinaria
Penalizaciones: incumplimiento de plazos contractuales

Difícil de cuantificar y habitualmente infraestimado. Ignorarlo lleva a niveles de servicio crónicamente bajos.

Coste de Almacenar

Crece con SS

Cada unidad adicional de SS tiene un coste de tenencia que se repite cada período:

Capital inmovilizado: coste financiero (WACC × valor)
Espacio: alquiler o coste de oportunidad del almacén
Obsolescencia y caducidad: riesgo de que no sirva cuando llegue
Manipulación: entradas, salidas, inventarios

Más visible y cuantificable. Suele estimarse entre el 15% y el 40% del valor del stock anual.

Parámetros

Coste de rotura (C_r): 50,0 €/ud

1 €300 €

Coste almacenar (h): 5,0 €/ud

0,5 €30 €

Incertidumbre (σ_LT): 40 uds

5150 uds

CSL óptimo

—

Factor z*

—

SS* óptimo

—

Coste mínimo

—

Simulador completo

Curvas de Coste

El punto verde sobre la curva de Coste Total marca el SS* óptimo — donde la pendiente de almacenar iguala la de no servir.

Expresión de los Costes en Función de SS

Las dos curvas del gráfico responden a estas expresiones, donde \( z = SS / \sigma_{LT} \) es el factor z implícito en cada nivel de SS:

Coste de Almacenar (CA)

\[CA(SS) = h \cdot SS\]

Lineal: cada unidad extra de SS cuesta h €/año.

Coste de No Servir (CNS)

\[CNS(SS) = C_r \cdot \sigma_{LT} \cdot G(z)\]

\( G(z) = \varphi(z) - z\,[1-\Phi(z)] \) es la función de pérdida normal unitaria.
Decrece rápidamente al crecer SS (menos roturas esperadas).

El Coste Total = CA + CNS. Su mínimo se alcanza cuando la pendiente de CA iguala la pendiente (en valor absoluto) de CNS, lo que lleva a la condición CSL* = C_r / (C_r + h) de la sección siguiente.

¿Cuánto Stock de Seguridad es el Óptimo?

En el óptimo se cumple que el coste marginal de almacenar una unidad más de SS iguala el ahorro marginal en coste de rotura:

\[h = C_{\text{ruptura}} \times P(\text{rotura}\mid SS^*)\]

Despejando la probabilidad de rotura óptima y su complementario (el nivel de servicio óptimo):

\[\text{CSL}^* = 1 - \frac{h}{C_{\text{ruptura}}} = \frac{C_{\text{ruptura}}}{C_{\text{ruptura}} + h}\]

Ejemplo numérico

Datos:

Coste de rotura: C_ruptura = 50 €/ud (margen perdido)
Coste de almacenar: h = 5 €/ud/año

\[\text{CSL}^* = \frac{50}{50 + 5} = \frac{50}{55} \approx 91\%\]

→ Factor z ≈ 1.34 (tabla normal)

Si el coste de rotura sube al doble (100 €/ud): CSL* = 100/105 ≈ 95% → z ≈ 1.65. Cuanto más cara es la rotura, más nos conviene protegernos.

En la práctica: C_ruptura es difícil de estimar (incluye daño reputacional, cliente perdido...). Por eso la mayoría de empresas fija un nivel de servicio objetivo (z = 1.65 para 95%) como política, y luego busca reducir σ o L para alcanzarlo con menos SS.

Medir el Error de Previsión: MAD

MAD: Mean Absolute Deviation

El MAD (Desviación Absoluta Media) mide cuánto se equivocan nuestras previsiones en promedio.

\[ \text{MAD} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} |D_t - F_t| \]

Donde:

D_t: Demanda real en el periodo t
F_t: Previsión (Forecast) para el periodo t
| |: Valor absoluto (siempre positivo)
n: Número de periodos observados

Ejemplo Numérico

Semana	Demanda Real (D)	Previsión (F)	Error (D - F)	\|Error\|
1	105	100	+5	5
2	95	100	-5	5
3	110	100	+10	10
4	92	100	-8	8
Suma de \|Errores\|				28

\[ \text{MAD} = \frac{28}{4} = 7 \text{ unidades} \]

Interpretación: En promedio, nuestras previsiones se equivocan en 7 unidades (ya sea por arriba o por abajo).

Relación entre MAD y Desviación Estándar (σ)

Si los errores siguen una distribución normal, existe una relación matemática entre MAD y la desviación estándar (σ):

\[ \sigma \approx 1.25 \times \text{MAD} \]

¿Por qué 1.25? Es la relación entre la desviación estándar y la desviación absoluta media en una distribución normal. Matemáticamente:

\[ \frac{\sigma}{\text{MAD}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.2533 \]

Ventaja del MAD

Fácil de calcular: Solo sumas y restas
Intuitivo: "Error medio en unidades"
Robusto: Menos sensible a outliers
Datos históricos: Se calcula con lo que ya ocurrió

Ventaja de σ (sigma)

Base estadística: Se usa con distribución normal
Nivel de servicio: Conecta con tablas z
Cálculo SS: Fórmulas clásicas usan σ

Conversión:

Si MAD = 10 → σ ≈ 12.5

Si MAD = 20 → σ ≈ 25

En la práctica: Calcula MAD con datos históricos (es fácil), luego multiplica por 1.25 para obtener σ, y úsalo en las fórmulas de stock de seguridad.

Cálculo del Stock de Seguridad

Fórmula del Stock de Seguridad

El stock de seguridad debe cubrir la variabilidad de la demanda durante el lead time:

\[ SS = z \times \sigma \times \sqrt{LT} \]

Componentes de la fórmula

z

Factor de Servicio (z)

Depende del nivel de servicio deseado. Se obtiene de la tabla de distribución normal.

90% → z = 1.28
95% → z = 1.65
99% → z = 2.33

σ

Desviación Estándar

Mide la variabilidad de la demanda por periodo (día, semana, mes).

σ ≈ 1.25 × MAD

√LT

Raíz del Lead Time

Ajusta la variabilidad al horizonte temporal del lead time.

Si LT = 4 semanas → √4 = 2

¿Por qué √LT y no LT?

Porque los errores de previsión NO se suman linealmente. Se promedian parcialmente:

Ejemplo: Si la demanda semanal tiene σ = 10 uds/semana:

Para LT = 1 semana: σ_LT = 10 × √1 = 10 uds
Para LT = 4 semanas: σ_LT = 10 × √4 = 20 uds (NO 40)
Para LT = 9 semanas: σ_LT = 10 × √9 = 30 uds (NO 90)

Las desviaciones se compensan parcialmente (a veces demanda alta, a veces baja).

Usando MAD en lugar de σ

Si calculamos el MAD a partir de datos históricos, la fórmula queda:

\[ SS = z \times 1.25 \times \text{MAD} \times \sqrt{LT} \]

Ejemplo Completo

Datos:

MAD semanal = 20 unidades (calculado con datos históricos)
Lead time (LT) = 4 semanas
Nivel de servicio deseado = 95% → z = 1.65

Paso 1: Convertir MAD a σ

\[ \sigma = 1.25 \times 20 = 25 \text{ uds/semana} \]

Paso 2: Ajustar por lead time

\[ \sigma_{LT} = 25 \times \sqrt{4} = 25 \times 2 = 50 \text{ uds} \]

Paso 3: Aplicar factor de servicio

\[ SS = 1.65 \times 50 = 82.5 \approx 83 \text{ unidades} \]

Resultado

Necesitamos 83 unidades de stock de seguridad para tener un 95% de probabilidad de NO quedarnos sin stock durante el lead time.

Interpretación del 95%:

En 95 de cada 100 ciclos de pedido, NO habrá ruptura
En 5 de cada 100 ciclos, SÍ habrá ruptura (riesgo asumido)
Mayor z → Mayor SS → Mayor coste pero menor riesgo

Centralización: Beneficio del Risk Pooling

El poder de agregar demanda

Cuando centralizamos el inventario de n almacenes en uno solo, el stock de seguridad total se reduce dramáticamente:

\[ SS_{central} = \sqrt{n} \times SS_{individual} \]

Ahorro de inventario:

\[ \text{Ahorro} = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \times 100\% \]

Ejemplo: 5 Almacenes Regionales vs 1 Central

Situación Actual: 5 Almacenes Regionales

Cada almacén:

Demanda semanal: 200 uds (media)
MAD semanal: 40 uds
σ semanal: 1.25 × 40 = 50 uds
Lead time: 2 semanas
Nivel de servicio: 95% (z = 1.65)

SS por almacén:

\[ SS = 1.65 \times 50 \times \sqrt{2} = 1.65 \times 50 \times 1.41 = 116 \text{ uds} \]

SS total (5 almacenes):

\[ SS_{total} = 5 \times 116 = 580 \text{ unidades} \]

CENTRALIZAR

Situación Propuesta: 1 Almacén Central

Almacén central:

Demanda semanal: 5 × 200 = 1000 uds (media)
σ semanal: 50 × √5 = 112 uds (risk pooling)
Lead time: 2 semanas
Nivel de servicio: 95% (z = 1.65)

SS central:

\[ SS = 1.65 \times 112 \times \sqrt{2} = 1.65 \times 112 \times 1.41 = 261 \text{ uds} \]

O directamente:

\[ SS_{central} = \frac{580}{\sqrt{5}} = \frac{580}{2.24} = 259 \text{ uds} \]

Resultado de la Centralización

580 uds

SS Distribuido (5 AR)

261 uds
SS Centralizado (1 AC)

-55%

Ahorro de Inventario

Ahorro absoluto: 580 - 261 = 319 unidades menos en inventario

¿Por qué ocurre esto? Porque la demanda agregada es más estable (se promedian los picos y valles de cada región). A más almacenes, mayor el beneficio de centralizar.

Trade-off de la Centralización

Ventajas de Centralizar

Menor SS total (factor √n)
Economías de escala en compras
Gestión simplificada (un solo punto)
Mayor flexibilidad para reasignar stock

Desventajas de Centralizar

Transporte más caro (distancias mayores)
Lead time más largo a clientes finales
Riesgo concentrado (un solo punto de fallo)
Menor cercanía al cliente

Decisión óptima: Centralizar cuando el ahorro en inventario supera el incremento en transporte. Depende del valor del producto y la geografía.

Tabla de Factores z (Nivel de Servicio)

Nivel de Servicio (%)	Factor z	Interpretación
50%	0.00	Sin stock de seguridad (50% de rupturas)
80%	0.84	Baja protección
85%	1.04	Protección moderada-baja
90%	1.28	Protección moderada
95%	1.65	Típico en retail
97.5%	1.96	Alta protección
99%	2.33	Muy alta protección
99.9%	3.09	Protección extrema (productos críticos)

Nota: Estos valores corresponden a la distribución normal estándar. Para nivel de servicio P, buscar z tal que Φ(z) = P.

Conceptos Clave

MAD vs σ

MAD es fácil de calcular con datos históricos. σ ≈ 1.25 × MAD. Ambos miden variabilidad, pero σ se usa en fórmulas estadísticas.

Raíz del Lead Time

SS = z × σ × √LT. Los errores NO se suman linealmente porque se compensan parcialmente. Usar √LT, NO LT.

Factor z y Nivel de Servicio

Mayor z → Mayor SS → Menos rupturas → Más coste. Típicamente 95% (z=1.65) en retail. 99% en productos críticos.

Risk Pooling

Centralizar n almacenes reduce SS total en factor √n. Con 4 almacenes, ahorro del 50%. Con 9 almacenes, ahorro del 67%.

Trade-off Centralización

Centralizar reduce inventario pero aumenta transporte y lead time. Hay que encontrar el equilibrio según valor del producto.

SS ≠ Inventario de Ciclo

El stock de seguridad es un colchón adicional. El inventario de ciclo (Q/2) es el promedio por la forma del EOQ.